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MODELO MATEMATICO DE FISTULAS ENTEROCUTANEAS.

Las fístulas enterocutáneas son comunicaciones patológicas entre la luz intestinal y la superficie de la piel abdominal. En el Hospital Tornú se lleva a cabo un tratamiento destinado al cierre de estas fístulas basado en un sistema de aplicación de vacío y compactación (SIVACO).
El objetivo del presente trabajo es mostrar el desarrollo de  un modelo para intentar comprender el funcionamiento del mencionado tratamiento.
Este modelo se basa en una serie de supuestos que a continuación se muestran.

Supuestos

  • 1. Se considera a la fístula como un tubo flexible de largo constante (L) y radio (r) variable. Los diámetros de las fístulas son estimados directamente mientras que los largos se miden mediante estudios de diagnóstico por imágenes. Supondremos que todo este sistema contiene un fluido real.
  • 2. El caudal de la fístula se conserva. Esto implica que las paredes de la fístula son impermeables al líquido. Sin embargo, el caudal que sale de la fístula no es necesariamente igual al que sale de ésta.
  • 3. El número de Reynolds es lo suficientemente bajo (Re < 2000) de manera que se supone un régimen laminar. Esto justifica el empleo de la ley de Poiseuille para modelar el movimiento de líquido fistuloso. A partir de la geometría descripta se modela, entonces, la resistencia hidráulica y se asume que la viscosidad del líquido fistuloso es similar a la de una solución acuosa.
  • 4. Supondremos que el extremo superficial de la fístula se haya conectado a una bomba de vacío.
  • 5. Asumiremos que el extremo intestinal de la fístula se encuentra a una presión invariable en el tiempo e igual a al presión atmosférica.
  • 6. Emplearemos una ley fenomenológica sencilla para modelar la relación entre el volumen y la presión de la fístula.
  • 7. Supondremos que la presión inicial dentro de la fístula es atmosférica.

Índices

Notaremos con 0 el compartimiento superficial, 1 el compartimiento fistuloso y 2 el compartimiento intestinal.

Desarrollo
Si se establece un gradiente de presión no nulo en el espacio podemos definir con este vector dos puntos diferentes con distinto valor de presión.

 

En el formalismo de la Termodinámica de los Procesos irreversibles este gradiente es una fuerza impulsora (X). Esto genera un flujo de volumen (J) entre ellos. Este flujo es lineal con la fuerza impulsora.

J = L . X

Dónde L es un coeficiente fenomenológico, característico del sistema. En Mecánica de Fluidos esta expresión es bien conocida y se conoce como Ley de Hagen-Poiseuille. En la notación de esta disciplina:

Q = (1 / R). DP

Dónde Q es el caudal de fluido entre dos puntos del espacio, R es la resistencia hidráulica - de modo que su inversa es la conductancia hidráulica - y DP es la diferencia de presión entre los puntos evaluados.

Si la presión disminuye en 0, respecto de 1, (supuesto 4) se establece una diferencia de presión entre estos dos puntos. Esta diferencia de presión genera (supuesto 3) un caudal que es proporcional a esta y a una conductancia. Según lo explicitado arriba:

Q01 = (1/R01).DP01

A su vez, si la presión de la fístula (compartimiento 1) disminuye respecto de la presión intestinal (compartimiento 2) se generará un caudal según:

Q12 = (1/R12).DP12

Donde Rij son las resistencias hidráulicas entre el extremo i y el j. En este modelo supondremos, en una primera aproximación, que estas resistencias son iguales entre sí (R01 = R12 = R).

Según la Mecánica de fluidos

R = 8 . (L/2) . h / ( p . r4)

Con h la viscosidad del fluido.

Supusimos que la fístula es un cilindro (supuesto 1) definido por un volumen V dado por:

V = L . p . r2

Si el Teorema de Continuidad se cumple (supuesto 2):

Q01 = Q12 - dV/dt

(1/R01).DP01 = (1/R12).DP12 - (2Lp) . r . dr/dt

Es decir

(p r4/( 8 (L/2)h))(P1-P0) = (p r4/( 8 (L/2)h))(P2-P1) - (2Lp)rdr/dt

(2Lp)rdr/dt = (p r4/( 8 (L/2)h))((P2-P1) -(P1-P0))

(2Lp)rdr/dt = (p r4/( 8 (L/2)h))( P0+ P2 -2.P1)

dr/dt = (( P0+ P2 -2.P1)/(8L2h)).r3

Consideramos que el extremo superficial de la fístula está conectado a una bomba de vacío (supuesto 4). De este modo suponemos que la presión cae según una exponencial decreciente con el tiempo (P0(t) = P00.e-k0.t). Por otro lado suponemos que el extremo intestinal de la fístula está a presión atmosférica (supuesto 5).

La ley fenomenológica (supuesto 6) que emplearemos para vincular la presión dentro de la fístula es

dP1/dV = D

Esta expresión muestra que la presión necesaria para estirar o colapsar un volumen determinado es precisamente proporcional a este volumen.
Integrando y considerando que la presión inicial es atmosférica (supuesto 7):

P1(t) = D(pLr2(t) - V0) + P00

Reemplazando

dr/dt = ((P00.e-k0.t + P00 -2.( D(pLr2(t) - V0) + P00))/(8L2h)).r3

dr/dt = ((P00(e-k0.t - 1) + 2D(V0 - pLr2))/(8L2h)).r3

De esta manera el modelo queda constituido como sigue:

Modelo de Fístulas enterocutáneas

Ecuación diferencial

dr/dt = ((P00(e-k0.t - 1) + 2D(V0 - pLr2))/(8L2h)).r3

Condiciones de contorno

Ya incluidas en la ecuación diferencial constituyen los supuestos 4 y 5.

P0(t) = P00.e-k0.t

P2(t) = P00

Condición inicial

P1(0) = P00

Resolución numérica

Hemos empleado un método de Euler para resolver numéricamente el modelo.

A continuación presentamos un resultado obtenido de un gráfico de r versus t.

Discusión

El modelo aquí presentado logra reproducir para algunos valores de los parámetros el comportamiento observado en fístulas bajo compactación. Esto permite una profundización en el esclarecimiento del mecanismo involucrado en el tratamiento así como una orientación en la eventual mejora del mismo.

 

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